パンの木を植えて

数学の話をしたり,しなかったりする日記

数学の歩き方

数学を学ぶひとへ向けて,学ぶ順序や教科書,各分野の概要を説明します.

p進解析

p進解析を紹介します.名前が大袈裟ですが,p進数の話というだけです.p進数はエキゾチックでとっつきにくい概念ですが,適切なアナロジーがあれば楽に理解できます.

代数的整数論 - Algebraic Number Theory -

代数的整数論を紹介します.不定方程式の研究から生まれた分野で,代数といいつつ解析的な手法が結構活躍します.

代数幾何学 - Algebraic Geometry -

代数幾何学を紹介します.スキーム論ではなくて,多項式環の性質を知っていれば理解できる範囲の代数幾何学です.

複素解析 - Complex Analysis -

複素解析の紹介をします.留数定理という,大学で習う全数学のなかでもトップクラスにおもしろい定理を擁する分野ですが,実は整数論とのかかわりがとても深い分野でもあります.

位相空間論 - General Topology -

位相空間論を紹介します.一般的な理論なので動機づけを見いだすのが難しいのですが,それなら先へ進んでしまうのも手です.

暗号理論 - Cryptography -

暗号理論の紹介です.数論の暗号理論への応用があることはかなり有名ですね.

初等整数論 - Elementary Number Theory -

初等整数論です.整数論は計算数論と不定方程式論と素数分布論の,大きく分けて3つの分野に分かれています.初等という名前ですが必ずしも簡単ではありません.

ガロア理論 - Galois theory -

Galois理論の紹介をします.方程式論への応用が有名ですが,その重要性は方程式論のみにとどまりません.

微分方程式論・力学系 - Differential Equations and Dynamical Systems -

微分方程式,および力学系の理論の紹介です.微分方程式論の授業はあまりおもしろいところまで進まないことが多いのですが,力学系と書かれている教科書を読んでみるとおもしろいですよ.

線形代数 - Linear Algebra -

線形代数の紹介です.線形代数に限らず代数学は証明を追うのは簡単でも動機を理解するのが大変なことが多いです.

群論 - Group Theory -

群論の説明をします.群は対称性を表すものであるとよく言われますが,大学の授業における群論は単なるGalois理論の前座です.それではあんまりなので本稿では初等整数論における応用へと誘導しています.

微積分 - Calculus -

微積です.実解析と呼ばれることもありますが,実解析という言葉はもう少し指す範囲が広いです,大学では1年生で習います.