ガロア理論 - Galois theory - - パンの木を植えて

前提知識
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- 講義ノート
  - Leinster『Galois Theory』

前提知識

graph TB; S(START) --> A(線形代数) --> B(群論) --> C(Galois理論)

線形代数は必要です．体の拡大を考えるので，体上の加群つまり線形空間がたくさん登場します．

群論を知らなければそもそもGalois群が理解できないので，群論も必須です．といいますか，最初に群論を習うのは実はGalois理論への応用を見据えた伏線だったのです．少なくとも歴史的にはそうで，群という代数系の重要性が認識されたのはGaloisの理論がきっかけです．

概要

体というのは，四則演算ができる集合のことであり，Galois理論とは，体の拡大というわかりにくいものをガロア群というわかりやすいものに対応させることができるという理論です．

歴史的には，一般の５次方程式に代数的な解の公式がないことを証明する過程で考えられた理論です．それによって方程式論は「終わった」のですが，Galois理論そのものは体についての最も基本的な理論として生き残りました．

「方程式が代数的に解けないことの証明」という応用があまりに有名すぎて知られていない気がしますが，Galois理論の意義は方程式論にとどまりません．代数トポロジーにおいて類似の定理があるほか，たとえば代数的整数論において応用があり，Galois群の素イデアルへの作用を考えたりします. 体を扱う際の基本的な道具という感じです．

Galois理論による方程式が解けないことの証明がどんな感じで行われるのか，なぜ体論や群論が大切なのか軽く説明しておきましょう．

まず２次方程式の解の公式を軽く振り返ります．有理数係数の２次多項式 $f(x) = x^2 + 2ax + b$ が与えられたとします．このとき解の公式は

\begin{align} \alpha &= - a + \sqrt{ a^2 - b } \\ \beta &= -a - \sqrt{a^2 - b} \end{align}

が $f$ の根になっていることを教えてくれます．体論の言葉で言えば，有理数を平方根で拡大した体 $\Q( \sqrt{a^2 - b} )$ まで係数を拡げれば $f$ が因数分解できることを示しています．

さらに３次と４次の方程式にも解の公式があります．３次多項式は適当な変数変換で $g(x) = x^3 + 3p x + 2q $ という形にできて，このとき $g$ の実数根のひとつは

\begin{align} \alpha = \sqrt[3]{ -q + \sqrt{q^2 + p^3} } + \sqrt[3]{ -q - \sqrt{q^2 + p^3} } \end{align}

と表せます．体論の言葉で言えば，係数体 $\Q$ に平方根と立方根を付け加えて拡大した体

\begin{align} K = \Q( \omega , \sqrt[3]{ -q + \sqrt{q^2 + p^3} } ) \end{align}

を考えれば，$K$ 上で $g$ は１次式の積として因数分解できるということです．ただし $\omega$ は１の原始３乗根であるとします．

このように，解の公式が存在するということは，体論の言葉で言えば「係数の有理式のべき根を繰り返し添加して到達できる体の中で，多項式が１次式の積に因数分解できる」ということと対応しています．これで方程式論と体論の関わりがなんとなく伝わったかと思います．

次になぜ群論が大切なのかを軽く説明します．解と係数の関係により多項式の根は，係数の基本対称式で表されます．しかし表現したい対象である根そのものは対称式ではありません．つまり係数を使って根を表すためには，対称式の対称性を崩す必要があるわけです．四則演算では対称性が保たれてしまうため，対称性を崩すのに使えるのはべき根を取る操作だけです．

ここまでくると解の公式が存在するか？という問題は，べき根を取る操作だけで対称性を十分に崩すことができるか？という問題に置き換えられます．そしてそれは「多項式のGalois群が可解群でない限り不可能である」というのが答えになるのです．

文献

書籍

雪江『代数学2』

代数学2　環と体とガロア理論 (代数学シリーズ)

作者:雪江明彦
日本評論社

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Galois理論の日本語の教科書の中では，かなりのシェアを誇ります. 初学者の最初の一冊として悪くないでしょう．後半に発展的な話が書かれていますが，初学者はGaloisの基本定理まで読んだら後は読み飛ばすくらいでも構いません．なぜかというと，「代数多様体を調べたい」とか「代数体を調べたい」というような一貫したストーリーなしで純粋に代数学として代数学を勉強してもおもしろくないからです．

なお同じ著者の「代数学３」はお勧めしません．理由は，浅く広く事実だけを書き連ねた本になってしまっているからです．