パンの木を植えて

数学の話をしたり,しなかったりする日記

複素解析 - Complex Analysis -

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\A}{\mathbb{A}} %アフィン空間 \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %複素数 \newcommand{\F}{\mathbb{F}} %有限体 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %自然数 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} %有理数 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} %実数 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %整数 %%% 2項演算 %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \]
\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \]

前提知識

graph TB; S(START) --> B(微積) & A(線形代数) ; B --> C(位相空間論) --> D(複素解析); A --> E(群論) --> D;

解析学に属する分野なので,位相空間論や微積の知識は必須です.開集合・閉集合・境界という概念が頻出であるほか,コンパクト性と連結性の概念が重要.発散・収束の概念のほか Taylor 級数なども理解している必要があります.


意外かもしれませんが,代数学の知識も必要になります.留数定理あたりまでの内容は代数学を知らなくても大丈夫ですが,楕円関数やモジュラー形式の話になると群やベクトル空間が現れます.そんなに深い内容は必要ないので,気にしなくてもよいです.


概要

複素数に値をとる関数を考え,その微分可能性について考えます.複素数の場合は微分をとる際に実軸だけでなく虚軸方向からの極限も考えないといけませんので,「微分可能」という言葉の意味が少し強くなります.

……たったそれだけの違いなのですが,しかしこれが驚くほど大きく効いてくるのです.驚きですね.

実関数の意味で微分可能な関数を単になめらかというならば,複素の意味で微分可能な関数は超なめらかと呼ぶべきではないか?というほど違います.


たとえば,以下のような点で実関数とは違います.

  • 複素の意味で1度微分可能なら,何度でも微分可能

  • 複素関数は正則な領域のある開集合上で値が決まっていれば,実は全体で値が一意に定まる.(一致の定理)

  • ある孤立特異点を除いて正則な領域があれば,そこにおける積分の値は特異点だけで決まる.(留数定理)

とくに「実関数の実数上の積分がなぜか複素数を介するとさらっと解ける」という留数定理のインパクトが極めて大です.初めて習ったときは魔法のような感じがしましたし,今でも不思議.これから勉強する人もぜひ楽しんでください.


ところで,ここまで実関数との違いを強調してきましたが,関数全体の値が一部分だけで決まるという現象は実関数のときにもありました.$x=0$ のまわりでのTaylor級数の式

$$ f(x) = f(0) + \f{f'(0)}{1 !} x + \cdots + \f{f^{(k)}(0)}{k !} x^k + \cdots $$

を思い出してください.これは関数 $f$ をベキ級数で表している式なのですが,その係数は $x=0$ の周りだけに依存して決まっていますね.つまり,解析的関数という条件をつけると,関数の値というのは $x=0$ の周りだけで決まってしまうのです.これはもちろん $x=0$ に限った話ではなくて,どこでもいいから1点の周りの情報があれば $f$ 全体が再現できるわけです.

複素解析ではこの仮定の「解析的関数」のところが正則関数に置き換わるだけであると思えば,実解析と地続きの世界であることがわかります.


文献

Stein, Shakarchi 『複素解析』

日本評論社から.全4巻あるプリンストン解析学講義の第2巻です.応用例やイメージ・モチベーションの説明が豊富で,けして読者を困惑させません.これは私の持論ですが,「理論を使ってどういう問題が解けるか」をきちんと書いている本は良い本です.

シリーズを通して言えることですが,この巻でも応用例がしっかり載っています.ゼータ関数を経由した素数定理の証明や,テータ関数を使ったラグランジュの4平方和定理の証明などです.


チャーチル, ブラウン『複素関数入門』

数学書房から.某先生に「アールフォルスわからん」と愚痴をこぼしたところ,この本を勧められました.初学者向けの本です. 話題を絞って丁寧に解説しています. 比較的すぐ読み通せるので,複素解析の概要をつかむのに適しているでしょう. 初めにこれを読み,そのあとより詳しい本を読むと挫折しにくいと思われます.

敢えて文句を言うなら,演習問題が精選されている感じがしないことでしょうか.また,スタインシャカルチと比較すると動機の説明が少し甘く,何の話をしているのかわからなくなることがあります.


アールフォルス『複素解析』

  現代数学社から.原著の初版は1953年なので,非常に古い本です.

分厚くてさぞ内容が多そうな見た目ですが,実は位相の説明に序盤のかなりの紙数を割いているため実質的な内容はそう多くありません. 説明が丁寧とは言えませんが,本質を突いたことが簡潔に書かれています.

解析接続の説明があまり上手ではないほか,せっかく楕円関数の話をしているのに解析的整数論への応用の話をしておらずもったいない感じがします.この本だけで勉強すると,楕円関数を考えるありがたみがわかりません.


Freitag, Busam『Complex Analysis』

複素解析の教科書なのですが,楕円モジュラー形式の話まで載っている詳しめの本です.解析的整数論への応用もばっちり載ってます.また,演習問題に解答がついており,独習に便利かもしれません.

さらにこの本には続編があります.共著者のひとり Freitag さんによる第2巻『Complex Analysis 2』があり,そこではRiemann面に始まり,多変数の複素関数論(several complex variables) やAbel関数の話が書かれています.複素解析から Riemann面へとスムーズにつなげる数少ない教科書のうちの一つです.

そんなにお勧めというわけでもないです.


次に学べる分野

graph TB; A(複素解析) --> B(解析的整数論) & C(リーマン面)

せっかく複素解析を学んだのなら,解析的整数論も学ぶことをお勧めします.と言っても,ここに紹介されている本を読んだのなら,かなりの程度解析的整数論について既に知っているはずですが.

複素解析を使うことにより,素数定理は証明されました.またFourier解析も知っていれば,Dirichletの算術級数定理の証明も読むことができます.


リーマン面とは,1次元の連結な複素多様体のことです.複素多様体論や代数幾何学の前座として,非常に重要です.複素解析を知っているだけでは予備知識として少し心もとないので,多様体論も学んでおくとよいでしょう.