今回も Boyd & Vandenberghe『Convex Optimization』をやっていきます．
演習問題2.31(e) をやっていきます．
問題文
Let $K^*$ be the dual cone of a convex cone $K$, as defined in (2.19).
Prove the following.
(a) $K^*$ is indeed a convex cone.
(b) $K_1 \subseteq K_2$ implies $K_2^* \subseteq K_1^*$.
(c) $K^*$ is closed.
(d) The interior of $K^*$ is given by $\textbf{int } K^* = \{ y \mid y^Tx > 0 \text{ for all } x \in \textbf{cl } K \}$.
(e) If $K$ has nonempty interior then $K^*$ is pointed.
(f) $K^{**}$ is the closure of $K$.
(g) If the closure of $K$ is pointed then $K^*$ has nonempty interior. 『Convex Optimization』 Ex2.31
問題の背景
双対錐(dual cone) の定義を紹介しておきます．
錐(cone) $K$ に対して，その双対錐 $K^*$ を
$$
K^* = \{ y \mid x^T y \geq 0 \text{ for all } x \in K \}
$$
によって定義します．
これは，線形代数における直交補空間の概念の一般化になっています．直交補空間は，線形空間 $V$ に対して
$$
V^{\perp} = \{ y \mid v^T y = 0 \text{ for all } v \in V \}
$$
によって定義されます．線形空間は $v \in V \Rightarrow -v \in V$ を満たすので，この２つの定義は線形空間に対しては一致します．
後で最適化の理論を本格的に展開する際に，双対錐の概念が重要になるようです．
回答
今回は 問e をやります．
問題文にある pointed というのは，直線を含まないという意味です．
$K^ *$ が pointed であることを示すには，$x \in K^ *$ かつ $-x \in K^ *$ ならば $x = 0$ であることを示せばよいです．
ノートを貼って済ませてしまいましょう．
$K$ の内部が空ではないという条件の料理の仕方が難しいのですが，これは $K$ の affine dimension が全体と一致するという意味でしょう．
後は，線形代数での直交補空間の扱いを思い出しながらやれば証明できると思います．
