唐突ですが好きなゲームの話をします．なんとなく思い出して懐かしい気持ちになったので．
私は少し前にプレイした新約・帽子世界というフリーゲームがとても好きです．
とても良くできたゲームなんですよ．作者様に投げ銭できないことがもどかしいくらい．
まず主人公が６人いて，誰を選んでも同じ世界の中で異なるストーリーが展開されます．全員分のストーリーをクリアすると，７人めの主人公（ヨウコさん）が解放されます．
そのヨウコさんの話がまたよくできていて，６人全員のストーリーが同時進行する中で，６人全員を救うために立ち回るという筋書きになっています．カタルシスが味わえるようになってるわけです．
ゲーム性もすごくおもしろいんですよね．章ごとのストーリーとラスボスの性質がリンクしていて，ただ強いだけじゃないボス戦が味わえるようになっています．
特に魔トリョーシカ（ドーラ編のラスボス）戦が印象に残っていて……って，きりがないのでこの辺でやめておきますが．
ゲームってやると頭痛くなるし睡眠時間もなくなるんですけど，おもしろいやつは気にせずやっちゃいますね．
それでは今回も Boyd & Vandenberghe『Convex Optimization』をやっていきます．
演習問題2.31(f) をやっていきます．
問題文
Let $K^*$ be the dual cone of a convex cone $K$, as defined in (2.19).
Prove the following.
(a) $K^*$ is indeed a convex cone.
(b) $K_1 \subseteq K_2$ implies $K_2^* \subseteq K_1^*$.
(c) $K^*$ is closed.
(d) The interior of $K^*$ is given by $\textbf{int } K^* = \{ y \mid y^Tx > 0 \text{ for all } x \in \textbf{cl } K \}$.
(e) If $K$ has nonempty interior then $K^*$ is pointed.
(f) $K^{**}$ is the closure of $K$.
(g) If the closure of $K$ is pointed then $K^*$ has nonempty interior. 『Convex Optimization』 Ex2.31
問題の背景
双対錐(dual cone) の定義を紹介しておきます．
錐(cone) $K$ に対して，その双対錐 $K^*$ を
によって定義します．
これは，線形代数における直交補空間の概念の一般化になっています．直交補空間は，線形空間 $V$ に対して
によって定義されます．線形空間は $v \in V \Rightarrow -v \in V$ を満たすので，この２つの定義は線形空間に対しては一致します．
後で最適化の理論を本格的に展開する際に，双対錐の概念が重要になるようです．
回答
この問題はかなり難しかったです．
定義通りに示そうとすると，$\textbf{cl } K \subseteq K^{**}$ までは示すことができますが，逆を示すのが大変です．
試してみましたが，諦めました．
突破するには，本文に出てきた命題を使うのが良いと思います．次のような命題が登場していました．(section 2.3.1より)
ただし，この形では不十分です．
欲しいのは次の命題Aです．
この命題があれば証明ができることは，次のノートで示します．緑色の蛍光ペンで下線を引いてあるところが，この命題Aを引用しているところです．
難しいのは，この命題Aを証明するところです．
まずノートを貼りましょう．
何をやっているのかを説明するのは難しいです．
ポイントは $K \subseteq \{ y \mid a^T y \leq 0 \}$ を示すところでしょうか．
$z \in K$ に対して，直接 $a^T z \leq 0$ を示すのではなくて，$K$ が錐であるということを用いて $\forall ε>0 \quad a^Tz \leq ε$ を示すということをやっています．
函数解析などでよくやるテクニックですが，人によっては見えにくいかもしれません．
感想
ようやくいくぶん非自明な問題を解くことができました．
ちょっと難しかったですね．この本の演習は全体的に難しめです．
残る問g ですが，これは問d を前提にしている気がするのでやはり飛ばします．
