今回も Boyd & Vandenberghe『Convex Optimization』をやっていきます.
演習問題2.31(d) をやっていきます.
問題文
Let $K^*$ be the dual cone of a convex cone $K$, as defined in (2.19).
Prove the following.
(a) $K^*$ is indeed a convex cone.
(b) $K_1 \subseteq K_2$ implies $K_2^* \subseteq K_1^*$.
(c) $K^*$ is closed.
(d) The interior of $K^*$ is given by $\textbf{int } K^* = \{ y \mid y^Tx > 0 \text{ for all } x \in \textbf{cl } K \}$.
(e) If $K$ has nonempty interior then $K^*$ is pointed.
(f) $K^{**}$ is the closure of $K$.
(g) If the closure of $K$ is pointed then $K^*$ has nonempty interior. 『Convex Optimization』 Ex2.31
問題の背景
双対錐(dual cone) の定義を紹介しておきます.
錐(cone) $K$ に対して,その双対錐 $K^*$ を
$$
K^* = \{ y \mid x^T y \geq 0 \text{ for all } x \in K \}
$$
によって定義します.
これは,線形代数における直交補空間の概念の一般化になっています.直交補空間は,線形空間 $V$ に対して
$$
V^{\perp} = \{ y \mid v^T y = 0 \text{ for all } v \in V \}
$$
によって定義されます.線形空間は $v \in V \Rightarrow -v \in V$ を満たすので,この2つの定義は線形空間に対しては一致します.
後で最適化の理論を本格的に展開する際に,双対錐の概念が重要になるようです.
回答
この問題,どうやら誤植があるようです.
たとえば $K = \mathbb{R}_{\geq 0}$ とします.これは $\mathbb{R}$ 上の convex cone です.
このとき $K$ は自己双対で,$K^* = K$ です.したがって左辺は $\mathrm{int } K^* = \mathbb{R}_{>0}$ です.
一方で,右辺の $\{ y \mid y^Tx > 0 \text{ for all } x \in \textbf{cl } K \}$ は $\textbf{cl } K$ にゼロが含まれるので,空集合です.
したがって,両辺は一致しません.
正しくはどういう式なのか考えましたが,よくわからなかったので,とりあえず先に進むことにします.