今回も『Convex Optimization』を読んでいきます．
書影を得るために毎回Amazonのリンクを貼っていますが，この本は著者によって無償で公開されています．興味のある方は是非読んでみてください．
問題文
Let $K^*$ be the dual cone of a convex cone $K$, as defined in (2.19).
Prove the following.
(a) $K^*$ is indeed a convex cone.
(b) $K_1 \subseteq K_2$ implies $K_2^* \subseteq K_1^*$.
(c) $K^*$ is closed.
(d) The interior of $K^*$ is given by $\textbf{int } K^* = \{ y \mid y^Tx > 0 \text{ for all } x \in \textbf{cl } K \}$.
(e) If $K$ has nonempty interior then $K^*$ is pointed.
(f) $K^{**}$ is the closure of $K$.
(g) If the closure of $K$ is pointed then $K^*$ has nonempty interior. 『Convex Optimization』 Ex2.31
問題の背景
双対錐(dual cone) の定義を紹介しておきます．
錐(cone) $K$ に対して，その双対錐 $K^*$ を
$$
K^* = \{ y \mid x^T y \geq 0 \text{ for all } x \in K \}
$$
によって定義します．
これは，線形代数における直交補空間の概念の一般化になっています．直交補空間は，線形空間 $V$ に対して
$$
V^{\perp} = \{ y \mid v^T y = 0 \text{ for all } v \in V \}
$$
によって定義されます．線形空間は $v \in V \Rightarrow -v \in V$ を満たすので，この２つの定義は線形空間に対しては一致します．
後で最適化の理論を本格的に展開する際に，双対錐の概念が重要になるようです．
回答
この命題の証明は，定義に戻るだけでできます．
ノートを貼っておきます．
問 b は直交補空間の場合と同じで，ほとんど自明です．
問 c についてですが，$K^*$ は閉集合 $F_x = \{ y \mid x^T y \geq 0 \}$ の共通部分として書けるので，閉集合です．
感想
線形代数を前提とした話が多いです．
きちんと線形代数を知らないと読み進むことは難しいかもしれません．
