部分和が凸性を保つこと - Ex2.16

今回も『Convex Optimization』の演習問題をやっていきます．

Convex Optimization (English Edition)

やるのは演習2.16です．

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

問題文

Show that if $S_1$ and $S_2$ are convex sets in $\mathbb{R}^ {n+m}$, then so is their partial sum

$$ S = \{ (x,y_1+y_2) \mid x \in \mathbb{R}^ m, \quad y_1,y_2 \in \mathbb{R}^ n, (x,y_1) \in S_1 , (x,y_2) \in S_2 \}. $$

回答

定義に従って確かめます．

特にひねったことは何もせずに示せました．

感想

実はこの問題には誘導があって，アフィン写像による像と逆像をとっても凸性は保たれるということが紹介されていました．それを用いて，成分ごとの和をとっても凸性は保たれることを定義にいちいち戻らずに確かめる方法が載っていました．

したがって，この部分和の問題もアフィン写像による凸集合の像または逆像として描くことによって示せという問題であったと思うのですが……．好奇心でゴリ押ししてみたらできました．