ハイパボリック集合の凸性 - Ex2.11

今回も『Convex Optimization』の演習問題を解いていきます．

Convex Optimization (English Edition)

演習問題2.11です．

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

問題文

Show that the hyperbolic set $\{ x \in \mathbb{R}^ 2_{+} \mid x_1 x_2 \geq 1 \}$ is convex. As a generalization, show that $\{x \in \mathbb{R}^ n_+ \mid \prod_{i=1}^n x_i \geq 1 \}$ is convex.

回答

対数関数の凸性を使う問題ですね．

凸な関数は，その曲線上の２点をつなぐ線分がかならず曲線の下に来ます．その一般化としてJensenの不等式が成り立っています．

Jensenの不等式で検索すればたくさん情報が出てくるので説明は省略しますが．

証明はノートを貼って済ませてしまいます．

シンプルな練習問題でした．

感想

Jensenの不等式はなぜか高校では習わないのですが，非常によく出てくるので知っておくと便利です．グラフを描いてみればある程度納得できます．

最近ここで解いている問題は簡単すぎますが，そのうちイントロ部分が終わっておもしろくなってくると思います．