某定食を頼んだらコース料理が出てきたお店にあれ以来よく行くのですが，
どうやら中華らしいことがわかってきました．
胡麻団子美味しいね．
見た目も可愛いよね．
それはそうと今回も『Convex Optimization』の演習問題をやっていきます．
書影を得るためにAmazonのリンクを貼ってはいますが，この本は無償公開されているので興味のある方はぜひ読んでみてください．
演習問題 2.14(b) をやります．
問題文
Let $S \subseteq \mathbb{R}^ n$, and let $\| \cdot \|$ be a norm on $\mathbb{R}^ n$.
(a) For $a \geq 0$ we define $S_a$ as $\{ x \mid dist(x,S) \leq a \}$, where $dist(x,S) = \inf_{y \in S} \| x-y \|$. We refer to $S_a$ as $S$ expanded or extended by a. Show that if $S$ is convex, then $S_a$ is convex.
(b) For $a \geq 0$ we define $S_{-a} = \{ x \mid B(x,a) \subseteq S \}$, where $B(x,a)$ is the ball (in the norm $\| \cdot \|$), centered at $x$, with radius $a$. We refer to $S_{-a}$ as $S$ shrunk or restricted by $a$, since $S_{-a}$ consits of all points that are at least a distance $a$ from $\mathbb{R}^ n \setminus S$. Show that if $S$ is convex, then $S_{-a}$ is convex.
問bの回答
絵を描かずに考えていたので，最初はかなり混乱しました．
描いた瞬間にどうやればいいのかが見えてきたので，やはりお絵描きは大事．
証明ですが，特に見どころはないのでノートを貼って済ませてしまいます．
