凸集合の拡張と縮小 - Ex2.14(a)

本題に入る前にお知らせ．

以前書いた「新版 数学ブックガイド」の記事に，依存関係を示す有向グラフを追加しました．

Mermaidというものを使って書いています．

Mermaidの使い方をひとこと書いておきます．

1. はてなブログの記事の中に

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mermaid/dist/mermaid.min.js"></script>
<script>mermaid.initialize({startOnLoad: true});</script>

というコードを貼り付けます．これでMermaidが使用可能になります．

次にUML図を貼り付けたいところに，

<div class="mermaid">
     (ここにコードを書く)
</div>

と貼り付けます．これでおしまいです！

簡単ですね．

Mermaidの文法については各自で調べてみてください．

さて，今回も『Convex Optimization』の演習問題をやっていきます．

Convex Optimization

書影を得るためにAmazonのリンクを貼ってはいますが，この本は無償公開されているので興味のある方はぜひ読んでみてください．

演習問題 2.14(a) をやります．

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

問題文

Let $S \subseteq \mathbb{R}^ n$, and let $\| \cdot \|$ be a norm on $\mathbb{R}^ n$.

(a) For $a \geq 0$ we define $S_a$ as $\{ x \mid dist(x,S) \leq a \}$, where $dist(x,S) = \inf_{y \in S} \| x-y \|$. We refer to $S_a$ as $S$ expanded or extended by a. Show that if $S$ is convex, then $S_a$ is convex.　

(b) For $a \geq 0$ we define $S_{-a} = \{ x \mid B(x,a) \subseteq S \}$, where $B(x,a)$ is the ball (in the norm $\| \cdot \|$), centered at $x$, with radius $a$. We refer to $S_{-a}$ as $S$ shrunk or restricted by $a$, since $S_{-a}$ consits of all points that are at least a distance $a$ from $\mathbb{R}^ n \setminus S$. Show that if $S$ is convex, then $S_{-a}$ is convex.

問aの回答

点 $x$ から $S$ までの距離 $dist(x,S)$ は下限によって定義されていますので，そこを良い感じに料理するのが難しいかもしれないです．

ノートを貼ります．

感想

数学的には最小値よりも下限の方が扱いやすいのですが，直感的にわかりにくいので毎回下限を扱うときには考え込んでしまいます．