みなさまこんばんは．
今回も Boyd, Vandenberghe『Convex Optimization』を読んでいきます．
書影を得るためにAmazonのリンクを貼っていますが，この本は著者によりPDFが無償で公開されています．興味のある方は是非読んでみてください．
今回やるのは演習2.38(b) です．
問題文
The recession cone (also called asymptotic cone) of a set $C$ is defined as the set of all vectors $y$ such that for each $x \in C$, $x - ty \in C$ for all $t \geq 0$.
Show that the recession cone of a convex set is a convex cone.
Show that if $C$ is nonempty, closed, and convex, then the recession cone of $C$ is the dual of the barrier cone. Ex 2.38
回答
これも実は問題文に問題があるみたいで．
問題文には $x - ty \in C$ という条件が書かれていますが，調べてみると $x + ty \in C$ が正しいようです．
問題文に違和感があるのはそのせいのようです．
前回の 問a にも問題があったばかりですが．ちょっとミス多いですね．
まず，凸集合の recession cone が convex cone であることを示します．
これは定義をいじっていれば示すことができます．
次は後半の「$C$ が空でない閉凸集合なら，$\mathrm{rec}(C)= (\mathrm{Bar} \ C)^*$ 」を考えていく……のですが，正直に言ってここのところはよくわかりませんでした．
$\mathrm{rec}(C) \subseteq (\mathrm{Bar} \ C)^*$ は示せたんですよ．
（ちょっと論法が怪しい気はしています...…．）
ところが逆がですね，うまく示せないんですよね．
$C$ が閉凸集合であるという仮定をまだ使っていないので，それを使って分離平面定理とか適用してうまいことするんだと思うのですが，具体的にどうやるのか見当がつきません．
今後 Recession Coneが出てきたらまたそのときリベンジすることにして，いったん見送ることにします．確認したのでまた定義が間違ってるということはないと思います．
あとがき
このシリーズ記事は演習問題の解答を示すというより，問題に取り組んで勉強しているところを共有するという意図でやってるので，たまに解けなかった問題をUPすることがあります．
ゲーム実況みたいなノリです．たまに「もう答え見ていい？」って言って攻略サイト見ちゃう実況者いるでしょ．あんな感じ．
どうしてそうするかというと，「勉強が終わってから記事を書こう！」なんてやり始めると永遠に記事が書けないからです…．
そういうわけなので，大目に見てくださると嬉しいです．
そろそろ新しい章に入っていきますが，ここまでの理解がﾁｮｯﾄ怪しいので頑張ります．
