つい先日DLしたとご報告したSkyですが，集中してやったおかげでだいたい全部クリアできました．
やりきった…．頑張った！
まだやりこみ要素はたくさん残っているのですが，きりがないのでこの辺で辞めることにします．
感想ですが，総じてすごく良いゲームでした．
フレンドではない単にその場で出くわしただけのプレイヤーのことを野良というのですが，野良の方と協力してダンジョンを乗り切ったり，野良の方に精霊探しを手伝ってもらったりするのがすごく楽しかったです．
ダンジョンをクリアしたら（もう用は無いので）別れるんですけどね．それが寧ろフレンドとして付き合うよりもさっぱりしてていいんですよ．
「旅は道連れ」を体感させてくれるゲームでした．
それはそうとしてShoup『A Computational Introduction to Number Theory and Algebra』を読んでいきます．
書影を得るためにAmazonのリンクを貼っていますが，この本は著者がこのページで公開しているのでＰＤＦが無料でＤＬできます．単に安いだけでなくとてもおもしろい本なので，興味のある方はぜひどうぞ．
今回やるのは演習問題5.6です．
問題文
Use Chebychev's theorem and Abel's identity to prove a stronger version of Theorem 5.5; $\vartheta (x) = \pi(x) \log x + O(x / \log x)$.
回答
Abelの総和公式を使います．
$c_i$ を $i$ が素数のときだけ $1$ で，それ以外のときにはゼロであるような数列とします．そうすると $C(x) := \sum_{1 \leq i \leq x} c_i$ について $C(x)= \pi(x)$ が成り立ちます．
この数列 $c_i$ と関数 $f(t) = \log t$ に対してAbelの総和公式を用いると，
という $\vartheta(x)$ と $\pi(x)$ の関係式を得ます．
Chebychevの定理により $\pi(x) = \Theta(x/\log x)$ なので，
前回の演習問題で示したように，
なので，ここから示すべきことがいえました．
感想
Abelの総和公式便利ですね．
形は部分積分と似ているので，積分の定義を適切に拡張すれば部分積分としてかけそうな雰囲気がします．
