Abelの総和公式の応用 その２- Ex5.8

ゴールデンウィークも終わりなのでスタバでハジけようと思って，ぜいたくなものを買いました．

チョコバナナ！美味しい！

写ってないけど袋のデザインもかわいいね！

それはそうと，Shoup『A Computational Introduction to Number Theory and Algebra』を読んでいきます．

A Computational Introduction to Number Theory and Algebra

書影を得るためにAmazonのリンクを貼っていますが，この本は著者がこのページで公開しているのでＰＤＦが無料でＤＬできます．単に安いだけでなくとてもおもしろい本なので，興味のある方はぜひどうぞ．

今回やるのは演習問題5.8です．

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

問題文

Use Chebyshev's theorem and Abel's identity to show that $$ \sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p} = \frac{\pi(x)}{\log x} + O(x/(\log x)^ 3). $$

回答

Abelの総和法を適用します．

与えられた総和 $\sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p}$ を $c_i = [i \; \text{is prime }]$ と $f(i) = 1/ \log i$ の積の和だとみなしてAbelの総和法を適用すると,

$$ \sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p} = \frac{\pi(x)}{\log x} + \int_2^x \frac{\pi(t)}{t(\log t)^2} \ dt $$

を得ます．

ここでChebyshevの定理により

\begin{align*} \sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p} - \frac{\pi(x)}{\log x} \leq C_1 \int_2^x \frac{1}{(\log t)^3} \ dt + C_2 \end{align*}

なる定数 $C_1, C_2 > 0$ があります．

したがって少し前にやった演習問題により,

$$ \sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p} - \frac{\pi(x)}{\log x} = O\left( \frac{x}{(\log x)^3} \right) $$

です．

感想

Abelの総和法便利ですね．（２回目）

途中で出てくる $[i \; \text{is prime }]$ という記法ですが，これは [ ] の中身が true のときに $1$, false のときに $0$ を返すようなものとしています．Knuth先生の本で見かけて使ってみたかったので使ってみました．