冪乗根の個数を数える - Ex17.3(a)

今日もシルヴァーマン『A Friendly Introduction to Number Theory』の演習問題をやっていきます．

邦訳がこちら．

はじめての数論 原著第4版

原著はこちら．

Friendly Introduction to Number Theory, A, (2-download) (English Edition)

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

問題文

この章で私たちは $m$ を法とした $b$ の $k$ 乗根をどのように解くかについて述べた．しかし，あなたはおそらく $b$ の $k$ 乗根が１つよりも多くあり得るのか自問したことだろう．実際，それは可能である！たとえば，$a$ が $m$ を法として $b$ の平方根であれば，明らかに $-a$ も $m$ を法として $b$ の平方根になっている．

(a) $b,k,m$ を

$$ \gcd(b,m) = 1, \quad \gcd(k,φ(m)) = 1 $$

を満たす整数とする．$b$ は $m$ を法としてただひとつの $k$ 乗根をもつことを示せ．

(b) 代わりに $\gcd(k,φ(m)) > 1$ とせよ．$b$ は $m$ を法として $k$ 乗根を持たないか，あるいは少なくとも２つの根を持つことを示せ．（現時点までに扱ってきた題材では，この問題は難問である．）

(c) $m=p$ が素数のとき，例をいくつか調べ，$p$ を法とした（少なくとも１つはあると仮定したときの）$b$ の $k$ 乗根の個数の公式を見つけることに挑戦せよ．

問a の回答

絶対その方がわかりやすいので，群論の言葉をバンバン使っていきましょう．

単数群 $(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{\times}$ のことを，以降では簡単のために $\mathbb{Z}_m^*$ と書くことにします．ここでは $p$ 進数は出てこないので，まあ紛らわしくはないでしょう．

まず $k$ 乗する写像 $φ: \mathbb{Z}_m^* \to \mathbb{Z}_m^*$ を考えます．$φ(x) = x^ k$ です．$\mathbb{Z}_m^*$ はAbel群なので，これは群準同型です．$\ker φ \subseteq \mathbb{Z}_m^*$ は部分群になっています．

$g \in \ker φ$ が与えられたとします．$g$ の位数を $a$ とします．

  $g^ k=1$ より $a$ は $k$ の約数です．

  また，$g \in \mathbb{Z}_m^*$ なので $a$ は $φ(m)$ の約数でもあります．

  したがって仮定から $a=1$ です．

ゆえに $\ker φ = 1$ であり，$φ$ は単射です．

$φ$ の値域と定義域は同一の有限集合なので，$φ$ は全射でもあります．

つまり $φ$ は全単射です．これで示すべきことが言えました．

（注意: 仮定から $b$ は $\mathbb{Z}^*_m$ の元です）

感想とまとめ

この本は群論を説明していないのですが，この問題って群論知らなくても解けるんでしょうか．

解けないと思うなぁ．

おもしろい本なんですけど，self-containedではないですね．