今日もシルヴァーマン『A Friendly Introduction to Number Theory』の演習問題をやっていきます．
邦訳がこちら．
原著はこちら．
問題文
この章で私たちは $m$ を法とした $b$ の $k$ 乗根をどのように解くかについて述べた．しかし，あなたはおそらく $b$ の $k$ 乗根が１つよりも多くあり得るのか自問したことだろう．実際，それは可能である！たとえば，$a$ が $m$ を法として $b$ の平方根であれば，明らかに $-a$ も $m$ を法として $b$ の平方根になっている．
(a) $b,k,m$ を
$$ \gcd(b,m) = 1, \quad \gcd(k,φ(m)) = 1 $$
を満たす整数とする．$b$ は $m$ を法としてただひとつの $k$ 乗根をもつことを示せ．
(b) 代わりに $\gcd(k,φ(m)) > 1$ とせよ．$b$ は $m$ を法として $k$ 乗根を持たないか，あるいは少なくとも２つの根を持つことを示せ．（現時点までに扱ってきた題材では，この問題は難問である．）
(c) $m=p$ が素数のとき，例をいくつか調べ，$p$ を法とした（少なくとも１つはあると仮定したときの）$b$ の $k$ 乗根の個数の公式を見つけることに挑戦せよ．
問b の回答
難問だと言われるとちょっと怖いですが，やっていきましょう．
前回同様に単数群 $(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{\times}$ のことを， $\mathbb{Z}_m^*$ と書くことにします．
対偶を示すことにしましょうか．
ある $b \in \mathbb{Z}_m^*$ について $φ^ {-1}(b) = { a }$ だと仮定します．ここで示したいことは $\gcd(k,φ(m)) = 1$ です．
$v \in \ker φ$ が与えられたとします．
$\varphi(va) = b$ なので $va \in φ^ {-1}(b)$ です．
$φ^ {-1}(b) = { a }$ だと仮定したので，$va = a$ です．
よって $v=1$ です．
ゆえに $\ker φ = 1$ であり，$φ$ は単射です．
$φ$ の値域と定義域は同一の有限集合なので，とくに $φ$ は全単射です．
したがって $X = \mathbb{Z}_m^*$ としたとき，$φ \in \mathrm{Aut} X$ です．（ただし $\mathrm{Aut}$ は自己同型群です）
$φ$ の $\mathrm{Aut} X$ における位数を $q$ とします．
$φ$ の $q$ 回の合成 $φ \circ φ \circ \cdots \circ φ$ が恒等写像に等しいので，すべての $x \in \mathbb{Z}_m^*$ について $x^{k^ q} = x$ が成り立つ．つまり $K := k^ q -1$ とおけば $\forall x \quad x^ K = 1$ です．
ここで次の定理を使います．証明に関しては，『A Computational Introduction to Number Theory and Algebra』（この本は無料だよ！）の定理7.28などを参照のこと．
(1) $m = 2^ e$ のとき，$e=1,2$ ならば巡回群．
(2) $m = 2^ e$ のとき，$e \geq 3$ ならば $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{2^ {e-2}}$ と同型．
(3) $m$ が奇素数のベキならば巡回群．
$m$ の素因数分解が $m = 2^ e p_1^ {e_1} \cdots p_r^ {e_r}$ だったとします．
$\mathbb{Z}_m^*$ の元がすべて $K$ 乗すると $1$ になることから，$φ(p_i^{e_i})$ は $K$ を割り切らなければなりません．なぜかというと，奇素数部分はすべて巡回群だからです．
$φ(p_i^{e_i}) = p_i^{e_i -1} (p_i -1)$ なので $K$ は偶数で，とくに $k$ は奇数です．また，$k$ が $φ(p_i^{e_i})$ で割り切れることもありえません．
したがって $\gcd(k,φ(m)) = 1$ が言えました．
感想とまとめ
奇素数のベキについての単元群の構造定理を使ってしまったので，確かにあんまり簡単ではないですね．この本の演習問題やっぱり難しいの多いですわ．
私は群論とか環論を知ってるから「たのしー」って思えるけど，高校生とかだったら理不尽だ！って感じるかもしれないですね．
