おはようございます．
どうにも寝れないので素数を数えようと思います．
今日は最近第4版の邦訳がでたばかりの，シルヴァーマン『はじめての数論』の演習問題をぼちぼちやっていきます．
問 a
やるのは問題 24.1 です．
(a) 素数 $p < 50$ で，$p= a^ 2 + ab + b^ 2$ の形に表せるものすべてのリストを作れ．たとえば，$p=7$ は $a=2$ かつ $b=1$ でこの形に表せるが，$p=11$ はこの形には表せない．パターンを見つけて，この形に表せる素数について正確に推測せよ．
ひたすら計算しまくるやつですね．やっていきましょう．
方針としては，$a$ の値と $b$ の値を虱潰しに調べる感じでいきます．
えいやっ．
とまあこのように，$3$ で割って余りが１であるか，あるいは３であることが条件であろうとわかります．
逆に $p= a^ 2 + ab + b^ 2$ と表せるならば，$a^ 2 + ab + b^ 2 = (a+ 2b)^ 2 - 3b(a-b)$ なので逆の成立はすぐにわかりますね．
問 b
(b) 同じ問いを素数 $p$ が $p= a^ 2 + 2 b^ 2$ の形に表せる場合に行え．
まあこれも虱潰しにやればできますね．
今度は８が出てきました．なんで８なんでしょうね…？
感想とまとめ
コンピュータでやらないといけないかなーと思っていましたが，別にそんなことはなかったですね．
これくらいなら手計算でもなんとかなりました．
でももう少し数値が大きくなってきたら，機械にやってもらいたくなりますね．
