パンの木を植えて

主として数学の話をするブログ

凸集合の定義 - Ex2.1

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\A}{\mathbb{A}} %アフィン空間 \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %複素数 \newcommand{\F}{\mathbb{F}} %有限体 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %自然数 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} %有理数 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} %実数 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %整数 %%% 2項演算 %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \]

「外食が多いから野菜が不足しがちで,いま野菜が美味しい店を探してるんですよ」と職場のひとに相談したところ,お店を教えてもらえました.

こないだ仕事帰りにそこに行ってきたんですけど,おもしろかったのでちょっと話を聞いてください.


メニューに単品しかなくて,「ごはんと味噌汁付きのセットとかないのかぁ……」とメニュー見ながらうんうん唸ってたら,

店員さんに「夜の定食なら1500円ですけどご飯とかデザートもついてきますよ」と言われたんですよね.

初見なのにいきなりメニューに載ってない隠し要素を解放してしまったわけです.


「1500円ってすこし高めだけどまあディナーやしたまにはいいかな」と思ってその定食を頼んだんですよ.

しばらく待って,出てきたのがこれです.


どこが定食やねん.コース料理やないか!


期せずしてめちゃくちゃ豪華な夕食になってしまいました.

当初の予定だった野菜も「これでもか!これでもか!!」っていう幻聴が聞こえてきそうなくらい入ってますね.

嬉しい誤算なんですけど,あまりにも豪華すぎて心の中の千代田桃が「この料理が1500円はありえない.きっと2500円の聞き間違いだったんだよ」って言ってました.


支払いに行くときにかなりドキドキしましたが,ほんとに1500円でした.

店員さんが「どうでしたか,お得感あるでしょう?」って帰り際に話しかけてこられましたが,いやもうこれは自慢して良いと思うわ.


お得感あったよ……!!


それはそうと,演習やっていきます.暗号理論(初等整数論)についての勉強の途中ではありますが…….

今回から,ずっと勉強したかった凸最適化を勉強することにします.

テキストはこの本.『Convex Optimization』です.

予備知識としては線形代数と微積くらいしか必要としないのですが,位相空間論くらいは知らないとチョットきついかもしれません.

ではゆるゆるとやっていきましょう.

この本は無料で公開されているので,興味のある方はぜひ読んでみてください.


\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

問題文

Let $C \subseteq \mathbb{R} ^n$ be a convex set, with $x_1, \cdots , x_k \in C$, and let $θ_1, \cdots , θ_k \in \mathbb{R}$ satisfy $θ_i \geq 0$, $θ_1 + \cdots + θ_k = 1$. Show that $θ_1 x_1 + \cdots + θ_k x_k \in C$. (The definition of convexitiy is that this holds for $k=2$; you must show it for arbitrary $k$.)

回答

凸集合の定義に関する問題です.

定義からすぐ示せる命題ですが,帰納法をどう使うかは若干非自明かもしれません.まあ簡単なのですけど….

感想

本文中に affine という言葉の定義が出てきます.convex(凸)という概念よりも弱い概念であり,ゼロ以上とは限らない和が1になるような係数に関する線形結合に対して,閉じていることを意味します.

affine という言葉は代数幾何をやってると途中から当たり前のように出てくる言葉なのですが,定義を聞いたことはなかったので,「ああそうだったんだ!」と思いました.

確かに affine 空間は affine ですね.