演習問題を，余計なことをべらべら喋りつつ無意味に解いていく記事です．
無意味な努力を眺めたい時などに読んでください．
問題
『Ideals, Varieties, and Algorithms』の１章４節の問６より引用．
The word "basis" is used in various ways in mathematics. In this exercise, we will see that "a basis of an ideal," as defined in this section, is quite different from "a basis of a subspace," which is studied in linear algebra.
数学において「基底」つまり basis という言葉で表される概念は複数あるのですが，そうしたものの間の違いを題材にしたいと書いてあります．イデアルの基底と，ベクトル空間の基底は全然違うのだと．
小問 a
First, consider the ideal $I = \langle x \rangle \subseteq k[x]$. As an ideal, $I$ has a basis consisting of the one element $x$. But $I$ can also be regarded as a subspace of $k[x]$, which is a vector space over $k$. Prove that any vector space basis of $I$ over $k$ is infinite.
$x$ という一つの元が生成する単項イデアル $I$ は，イデアルだと思えば生成元はひとつだけども，線形空間だと思うと無限次元であることを示せという問題．
$x, x^2 , x^3, \cdots$ はすべて $I$ の元ですが，多項式環 $k[x]$ の中で線形独立です．したがって，無限次元ですね．
小問 b
In linear algebra, a basis must span and be linearly independent over $k$, whereas for an ideal, a basis is concerned only with spanning—there is no mention of any sort of independence. The reason is that once we allow polynomial coefficients, no independence is possible. To see this, consider the ideal $\langle x, y \rangle ⊆ k[x, y]$. Show that zero can be written as a linear combination of $y$ and $x$ with nonzero polynomial coefficients.
線形空間の場合には「基底」と言ったら単に生成するというだけでなく，線形独立であることも含意している．なぜイデアルの場合には単に生成するだけなのか？それは，多項式係数を許すとなんでもかんでも線形従属になってしまうからだ……という問題．
$x$ と $y$ が多項式係数の意味で線形従属であることを示せと書いてあります．これは単に $y \cdot x + (-x) y = 0$ であることを言えばおしまいでしょうか．
小問 c
More generally, suppose that $f_1, . . . , f_s$ is the basis of an ideal $I ⊆ k[x_1, . . . , x_n]$. If $s ≥ 2$ and $f_i \neq 0$ for all $i$, then show that for any $i$ and $j$, zero can be written as a linear combination of $f_i$ and $f_j$ with nonzero polynomial coefficients.
小問 b の一般化なのですが，これってもしかして
$$ f_i f_j + (- f_j) f_i = 0 $$
を指摘すればおしまいなのでは．楽勝ですね．それとも問題文の読み違いかな？でもそう読めるんだよな……．
小問 d
A consequence of the lack of independence is that when we write an element $f \in \langle f_1, . . . , f_s \rangle$ as $f = \sum_{i=1}^s h_i f_i$, the coefficients $h_i$ are not unique. As an example, consider $f = x^ 2 + xy + y^ 2 ∈ \langle x, y \rangle$. Express $f$ as a linear combination of $x$ and $y$ in two different ways. (Even though the $h_i’s$ are not unique, one can measure their lack of uniqueness. This leads to the interesting topic of syzygies.)
イデアルの元 $f$ を $x,y$ の多項式係数の線形結合として２通りに表せという問題．これも
$$ f = (x+ y) x + y \cdot y $$ $$ f = x \cdot x + (x+y) y $$
と書き表せばおしまいかな．なんというかこの本のこのあたりの問題すごく容易ですね．（フラグ？）
問題文の最後に「どの程度表し方に幅があるかということを測ることができる」と書いてあって，ちょっと興味をそそりますが……？
小問 e
A basis $f_1, . . . , f_s$ of an ideal $I$ is said to be minimal if no proper subset of $f_1, . . . , f_s$ is a basis of $I$. For example, $x, x^ 2$ is a basis of an ideal, but not a minimal basis since $x$ generates the same ideal. Unfortunately, an ideal can have minimal bases consisting of different numbers of elements. To see this, show that $x$ and $x + x^ 2, x^ 2$ are minimal bases of the same ideal of $k[x]$. Explain how this contrasts with the situation in linear algebra.
問題文の中で，イデアルの生成元が minimal(極小) であるという言葉が定義されています．どの元が欠けても，イデアル全体を生成できなくなることを指すようです．
ここで，イデアル $I$ の極小基底の個数は $I$ だけに依らないことを示せというのが問題です．線形空間の場合にはベクトル空間の基底の個数は一意で，それが次元だったのを思うと対照的な結果だといえます．
$I = (x+x^ 2, x^ 2)$ とします．$x \in I$ なので $\langle x \rangle \subseteq I$ です．
逆に $x + x^ 2 \subseteq \langle x \rangle$ なので $I \subseteq \langle x \rangle$ です．ゆえに $I = \langle x \rangle$.
おしまい……と言いたいところですが極小性の証明が残っていますね．$\langle x^ 2 \rangle$ と $\langle x + x^ 2 \rangle$ がともに $I$ 全体に一致しないことを示さないと．まあでも次数を考えれば良いですね．
今度こそおしまい．
感想
多項式環のイデアルと，線形空間の違いについてしっかり説明してくれる問題でした．
めちゃくちゃ親切ですねこの本．
代数幾何学と線形代数の関連については，この本を読むまで意識したことがなかったんですが，どうも関連があるようですね．
多様体の次元の概念も，確かこの本では「線形部分空間の次元の最大値と一致していて欲しいから～」という論法で導入されていたようでした．
まあこの辺の内容は代数幾何というよりは可換環論なので，線形代数と関連しているのは当然かもしれないですけど．
ところで，今回は特にイラストを描く必要性を感じませんでした．したがってイラストなしです．隙あらば描こうと思ってるんですけどねー．
