パンの木を植えて

主として数学の話をするブログ

演習問題ぶらぶら解く ― 円と双曲線

\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\A}{\mathbb{A}} %アフィン空間 \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %複素数 \newcommand{\F}{\mathbb{F}} %有限体 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %自然数 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} %有理数 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} %実数 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %整数 %%% 2項演算 %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \]
\[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% カリグラフィー %%% \newcommand{\calf}{\mathcal{F} } \newcommand{\calg}{\mathcal{G} } %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \newcommand{\im}{\operatorname{im} } \]

はじめに

ゲーム実況がありなら数学実況もアリじゃないのかという天啓を得ました.

演習問題を,余計なことをべらべら喋りつつ解いていこうと思います.

問題

『Ideals, Varieties, and Algorithms』の1章4節の問1から引用します.

Consider equations

$x^ 2 + y^ 2 -1 = 0$,

$xy - 1 = 0$

which describe the intersection of a circle and a hyperbola.

円と双曲線の共通部分を考える問題のようですね.

註釈を入れておきますと,hyperbola というのは双曲線のことです.circle が円.

実数の範囲で絵を描くと,こういう状況です.

f:id:seasawher:20220125233304j:plain

交点,ないですねー.

小問 a

  1. Use algebra to eliminate $y$ from the above equations.

$y$ を消去しなさいと言っています.しょうがないなぁ.

$y= 1/x$ を代入してカタを付けたいところですが,それだと $x=0$ のときを別扱いしないといけなかったりしますかね.まあでも,いいかな!代入してみましょう.

$$ x^ 2 + \frac{1}{x^ 2} - 1 = 0 $$

が得られるので,分母を払ってしまえば

$$ x^ 4 - x^ 2 + 1 = 0 $$

ですね.

この方程式を解けとは……問題文は指示してないっぽいので,これで答えですね.答えは多項式 $x^ 4 - x^ 2 + 1 = 0$.

$x=0$ の可能性を後で考える必要があるかと思っていましたが,よく考えたら $xy = 1$ なんだから $x \neq 0$ ですね.ウッカリしてました.

小問 b

Show how the polynomial found in part (a) lies in $<x^ 2 + y^ 2 - 1, xy-1>$. Your answer should be similar to what we did in (1).

いま (a) で求めた式がイデアル

$$ I = <x^ 2 + y^ 2 - 1, xy-1> $$

に属していることを示しなさいという問題です.よしきた.

あ,(1) というのは本文中を指しているようなので,無視してください.

では解答を書いていきます.

$$ x^ 2 y^ 2 -1 = (xy-1)(xy+1) \in I $$ なので,これを使って先頭項の $x^ 2 y^ 2$ を消しましょう.そうすると

$$ - (x^ 2 y^ 2 -1) + x^ 2 (x^ 2 + y^ 2 - 1) = x^ 4 - x^ 2 + 1 \in I $$

が得られます.これで,(a) で得られた多項式がイデアル $I$ に入っていることが示せました.

これでおしまいですね.

感想

問題文を見た瞬間に

「2次式と2次式だから4点で交わるのかな」

と思ってしまったのですけど,絵を描いてみたらそうでもなかったです.

実際に $y$ を消去した多項式を調べると

\begin{align} x^ 4 - x^ 2 + 1 = \left( x^ 2 - \frac{1}{2} \right)^ 2 + \frac{3}{4} \end{align}

なので,実数根は持ちません.つまり実数体の上では交点はありません.

そだね.

それはそうと,イラストが(手描きなので)汚らしいですね.この程度のグラフなら綺麗に描く方法はありそうなので,次にこういう問題を解くときには気を付けようと思います.

今回の問題は高校数学の範囲で解けるものでしたねー.